حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ و $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x - 1] - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + 0) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $3 x^{2} - 4 x + 1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 2.12.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اطرح $6 x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + x + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

أضف $x$ و $8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $x^{3}$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 10 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 2 - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اطرح $x$ من $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 2 + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

أضف $- 2$ و $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$