حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $4$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{5} u d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $5$ وفي $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

خطوة 3.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

خطوة 3.2.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.2.5

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

خطوة 3.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

خطوة 3.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 3.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

خطوة 3.2.6.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

خطوة 3.2.7

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.2.8

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

خطوة 3.2.10.2

اطرح $4$ من $25$ .

$\frac{21}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{21}{2}$

الصيغة العشرية:

$10.5$

صيغة العدد الذي به كسر:

$10 \frac{1}{2}$

خطوة 5