حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - x^{2}}$ في صورة ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.2

اجمع ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 9.3.3

اضرب $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 12

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x)) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 15.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 16

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 17

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 18

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

خطوة 19

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اضرب $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ في $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

خطوة 19.2

أضف $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ و $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$