حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $x - 1$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

خطوة 6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 7.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 7.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $x$ في $1$ وفي $0$ .

$(1) + 0 - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $2$ وفي $1$ .

$(1) + 0 - 2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.3

أضف $1$ و $0$ .

$1 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - 2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$1 - 2 \ln (\frac{2}{1})$

خطوة 11.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$1 - 2 \ln (2)$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$1 - 2 \ln (2)$

الصيغة العشرية:

$- 0.38629436 \dots$

خطوة 13