حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{a^{\frac{1}{2}}} x^{3} \sqrt{a^{2} - x^{4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = a^{2} - x^{4}$ . إذن $d u = - 4 x^{3} d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = a^{2} - x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $a^{2} - x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{4}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{2} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$0 - (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$0 - 4 x^{3}$

خطوة 1.1.4

اطرح $4 x^{3}$ من $0$ .

$- 4 x^{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{4}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $a^{2}$ و $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = a^{2} - x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب الأُسس في ${(a^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}$

خطوة 1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}$

خطوة 1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

خطوة 1.5.2

اطرح $a^{2}$ من $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $a^{2}$ .

$- \frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.6

اضرب الأُسس في ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.2.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

خطوة 7.2.7

اطرح $\frac{2}{3} a^{3}$ من $0$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{2}{3} a^{3})$

خطوة 7.2.8

اجمع $a^{3}$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

خطوة 7.2.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

خطوة 7.2.10

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

خطوة 7.2.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{4 \cdot 3}$

خطوة 7.2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{12}$

خطوة 7.2.13

انقُل $2$ إلى يسار $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{12}$

خطوة 7.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{12}$

خطوة 7.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

خطوة 7.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 6}$

خطوة 7.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{a^{3}}{6}$

خطوة 8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{6} a^{3}$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{6}$ و $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{6}$