حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

خطوة 3.2

اضرب $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ في $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

خطوة 4.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

خطوة 4.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $x (- e^{- x})$ في $\ln (2)$ وفي $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- \ln (2)$ وفي $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3.5

أضف $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ و $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 7.3.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

خطوة 7.3.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $- \ln (2)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

خطوة 8.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

خطوة 8.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

خطوة 8.4

اجمع $\ln (2)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

خطوة 8.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بسّط $- \ln (2)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

خطوة 8.5.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

خطوة 8.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

خطوة 8.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 8.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 8.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 8.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

خطوة 8.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

خطوة 8.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

خطوة 8.11

اضرب $- - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 8.11.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.15342640 \dots$

خطوة 10