حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x^{3} + 5$ و $g (x) = 3 + 2 x$ .

$\frac{(3 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $9 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $9$ إلى يسار $3 + 2 x$ .

$\frac{9 \cdot (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.2.13

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(9 \cdot 3 + 9 (2 x)) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x)) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 1}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{3}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.4

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.5

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

اطرح $6 x^{3}$ من $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{2} + 12 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$