حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{3} (x)$ .

$\int \cos (x) \cos^{2} (x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos (x)$ و $d v = \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (- \sin (x)) d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (2 x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) \sin (x) d x$

خطوة 4.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (2 x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + 1 \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

خطوة 4.5.2

اضرب $\int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$ في $1$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

خطوة 4.5.3

أعِد ترتيب $\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ و $\sin (x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int \sin (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \sin (x)$ و $d v = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

خطوة 6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{2}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

خطوة 6.2

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{8}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{2}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

خطوة 6.4

اجمع $\cos (2 x)$ و $\frac{1}{8}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) \cos (x) d x$

خطوة 7

بإيجاد قيمة $\int \cos^{3} (x) d x$ ، وجدنا أن $\int \cos^{3} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد كتابة $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$ بالصيغة $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$ .

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

خطوة 8.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

خطوة 8.1.2.2

اجمع.

$\frac{4 (\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.7

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.8

اجمع $- 4$ و $\frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- 4 (\cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.9.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.9.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 (2)}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 \cdot 2}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- \cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 8.1.2.11

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

خطوة 8.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8}$ .

$\frac{2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

خطوة 8.1.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$ بالصيغة $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$ .

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \sin (x) \cos (2 x)) + C$