حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{5}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 2$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{- 10}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.6

اجمع $\frac{- 10}{2}$ و $x$ .

$\frac{- 10 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.2.7.2.4

اقسِم $- 5 x$ على $1$ .

$- 5 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{2} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- 5 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$- 5 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.5

اضرب $3$ في $3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.6

اجمع $\frac{9}{2}$ و $x^{- 4}$ .

$- 5 x + \frac{9 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.3.7

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 (3 x^{2})$

خطوة 1.4.3

اضرب $3$ في $2$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 6 x^{2}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$12 x - 5 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $\frac{9}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.4.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.4.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.4.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.4.8

اجمع $- 4$ و $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

خطوة 2.4.9

اضرب $- 4$ في $9$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

خطوة 2.4.10

اجمع $\frac{- 36}{2}$ و $x^{- 5}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

خطوة 2.4.11

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

خطوة 2.4.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.1

أخرِج العامل $2$ من $- 36$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

خطوة 2.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{5}$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

خطوة 2.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

خطوة 2.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 x - 5 + \frac{- 18}{x^{5}}$

خطوة 2.4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 x - 5 - \frac{18}{x^{5}}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$