حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

خطوة 1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ بالصيغة ${u_{1}}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ بالصيغة ${u_{1}}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ و $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1}$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

خطوة 4.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

خطوة 4.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ بالصيغة ${u_{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{u_{2}}{2}$ و $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . إذن $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، إذن مشتق $- {u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{2}$ في $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = - 0$

خطوة 8.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{2}$ في $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

خطوة 8.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

خطوة 9.2

اجمع $e^{u_{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 12.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 13

تكامل $e^{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $e^{u_{3}}$ في $- 1$ وفي $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

خطوة 14.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

خطوة 14.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

خطوة 15.3

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

خطوة 15.4

اضرب $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

خطوة 15.4.2

اضرب $\frac{1}{8}$ في $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

خطوة 15.5

انقُل $8$ إلى يسار $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

خطوة 16

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.07901506 \dots$

خطوة 17