حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(e^{x} + 1)}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(e^{x} + 1)}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(e^{x} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.3.1.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

خطوة 4.3.2

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

خطوة 7

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

خطوة 11

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$