حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $π$ خارج التكامل.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 4 - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 4 - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 2.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من $4$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

خطوة 6

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $0$ وفي $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

خطوة 8.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

خطوة 8.2.4

اضرب $64$ في $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

خطوة 8.2.5

اجمع $- 64$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

خطوة 8.2.7

اطرح $\frac{64}{3}$ من $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

خطوة 8.2.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

خطوة 8.2.9

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

خطوة 8.2.10

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.2.11

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

خطوة 8.2.12

انقُل $64$ إلى يسار $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

خطوة 8.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

خطوة 8.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

خطوة 8.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{32 π}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{32 π}{3}$

الصيغة العشرية:

$33.51032163 \dots$

خطوة 10