حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} x \ln (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2}$ في $e$ وفي $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

خطوة 6.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

خطوة 6.4

اضرب $\ln (1)$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

خطوة 6.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 6.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 6.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

لكتابة $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.2

اجمع $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.5

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 6.8.6.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

الصيغة العشرية:

$2.09726402 \dots$