حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{4} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x^{3} - 1$ . إذن $d u = 6 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x^{3} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $6 x^{2}$ و $0$ .

$6 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{4}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{u^{4}}{6} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int u^{4} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ بالصيغة $\frac{1}{30} u^{5} + C$ .

$\frac{1}{30} u^{5} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{3} - 1$ .

$\frac{1}{30} {(2 x^{3} - 1)}^{5} + C$