حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

خطوة 1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6.1.2

اقسِم $A (x - 4)$ على $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

خطوة 1.1.6.4.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

خطوة 1.1.7

انقُل $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 4 A$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = - 4 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 4 A = 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 A = 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- \frac{1}{4}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3.3.2

أضف $\frac{1}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3.4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

خطوة 1.5.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

خطوة 1.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

خطوة 1.5.5

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x - 4$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

خطوة 7.3

اطرح $4$ من $2$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

خطوة 7.5

اطرح $4$ من $3$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $3$ وفي $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $- 1$ وفي $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 9.3

احذِف الأقواس.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 10.2

اجمع $\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

خطوة 10.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

خطوة 11.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

خطوة 11.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 0.27465307 \dots$

خطوة 13