حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int u \sin (u) d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

خطوة 6.2

اضرب $\int \cos (u) d u$ في $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

خطوة 7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

خطوة 8

أعِد كتابة $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ بالصيغة $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\cos (\frac{x}{2})$ و $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 10.5

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$