حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

خطوة 1

بما أن $\frac{16}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{16}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 2.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

خطوة 2.3.2

اطرح $2$ من $3$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من $3$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $u^{\frac{5}{3}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{16}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 6.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ في $- 1$ وفي $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.5

اضرب $\frac{3}{8}$ في $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

خطوة 8.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

خطوة 8.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

خطوة 8.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

خطوة 8.2.9

اطرح $3$ من $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

خطوة 8.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.10.1

أخرِج العامل $8$ من $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

خطوة 8.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.10.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

خطوة 8.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

خطوة 8.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

خطوة 8.2.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

خطوة 8.2.11

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

خطوة 8.2.12

اضرب $0$ في $\frac{8}{3}$ .

$0$

خطوة 9