حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{3} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 4$ في $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.6

اجمع $\frac{- 20}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.3.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.3.4

اجمع $\frac{5}{4}$ و $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

خطوة 1.4

بما أن $\frac{4}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $\frac{4}{15}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ و $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $4$ و $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{20}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $4$ من $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.2.6.2.4

اقسِم $5 x^{3}$ على $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- \frac{20}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{20 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

خطوة 2.3.4

اجمع $- 3$ و $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 3$ في $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

خطوة 2.3.6

اجمع $\frac{- 60}{3}$ و $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

خطوة 2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 60$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

خطوة 2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

خطوة 2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

خطوة 2.3.7.2.4

اقسِم $- 20 x^{2}$ على $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$