حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$ في صورة ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = - 9 x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 9 x^{2} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 4.8

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 4.10

اضرب $2$ في $- 9$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 4.11

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \cdot 1)$

خطوة 4.13

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$

خطوة 4.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$ .

$(- 18 x - 4) \frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.2

اضرب $- 18 x - 4$ في $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 18 x - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.3

أخرِج العامل $2$ من $- 18 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x) - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (- 9 x) + 2 (- 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 9 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- 9 x - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 x$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.5

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 1 (2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.7

أعِد كتابة $- (9 x + 2)$ بالصيغة $- 1 (9 x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.14.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$