حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- 2 x} + 2 x$

خطوة 1

اكتب $e^{- 2 x} + 2 x$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

خطوة 6.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

خطوة 12.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$