حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.2.7

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- \frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \cos (2 x) + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4 \cos (2 x)$ و $0$ .

$4 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = - 4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$4 \cos (2 x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $4 \cos (2 x) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $4 \cos (2 x) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{4}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$\cos (2 x) = 0$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 8

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 9.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 9.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 10

حل المعادلة $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 8 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 12.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 12.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 8 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 8 \cdot 1$

خطوة 12.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8$

خطوة 13

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{4})) - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 1 - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 - \frac{π}{2}$

خطوة 14.2.2

الإجابة النهائية هي $2 - \frac{π}{2}$ .

$y = 2 - \frac{π}{2}$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 8 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

خطوة 16.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

خطوة 16.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 16.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.4

اضرب $- 8 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 8 \cdot - 1$

خطوة 16.4.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$8$

خطوة 17

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4})) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.4

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot - 1 - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.1.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 - \frac{π}{2}$

خطوة 18.2.2

الإجابة النهائية هي $- 2 - \frac{π}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{π}{2}$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ .

$(\frac{π}{4}, 2 - \frac{π}{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{3 π}{4}, - 2 - \frac{π}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20