حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ بالصيغة $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

خطوة 7.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

خطوة 9.2

افصِل الكسور.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

خطوة 9.3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ إلى $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

خطوة 9.4

اضرب $4$ في $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

خطوة 9.5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

خطوة 9.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$