حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x e^{2 x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = 4 x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.2

اجمع $4$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.3

اجمع $x$ و $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 2.4.2.4

اقسِم $x (2 e^{2 x})$ على $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2} \cdot 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2} \cdot 4$ خارج التكامل.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

خطوة 10

أعِد كتابة $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ بالصيغة $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$