حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$6 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 (2 y)$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $5$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 10 y$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x x' - 2 x - 2 (y x') + 10 y$

خطوة 2.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$6 x x' - 2 x - 2 y x' + 10 y$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x x' - 2 y x' + 10 y = 2 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $10 y$ من كلا المتعادلين.

$6 x x' - 2 y x' = 2 x - 10 y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 x'$ من $6 x x' - 2 y x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 x'$ من $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) - 2 y x' = 2 x - 10 y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 x'$ من $- 2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' (- y) = 2 x - 10 y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 x'$ من $2 x' (3 x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ على $2 (3 x - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ على $2 (3 x - y)$ .

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10 y$ .

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 5 y}{3 x - y}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = \frac{x}{3 x - y} - \frac{5 y}{3 x - y}$

خطوة 5.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$