حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$ في صورة ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 6 x^{2} - 8 x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

خطوة 4.7.4

اجمع $\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

خطوة 4.7.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

خطوة 4.7.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} - 8 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.9

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.11

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.12

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.14

اضرب $- 8$ في $1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 4.15

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + 0)$

خطوة 4.16

أضف $12 x - 8$ و $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$

خطوة 4.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$ .

$(12 x - 8) \frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17.2

اضرب $12 x - 8$ في $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 x - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17.3

أخرِج العامل $4$ من $12 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.3.1

أخرِج العامل $4$ من $12 x$ .

$\frac{4 (3 x) - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.17.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (3 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$