حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{4 π}{3}$ و $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{4 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 π x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{4 π}{3}$ و $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2.3

اجمع $\frac{16 π}{3}$ و $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

خطوة 1.3.4

اضرب $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ في $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{16 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{16 π}{3}$ و $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{4 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 π x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{4 π}{3}$ في $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $16$ في $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.7.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ على $16 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ على $16 π$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $\cos (\frac{4 π x}{3})$ على $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $16$ من $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $16$ من $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

خطوة 5.1.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

بسّط $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.2.1

أخرِج العامل $4 π$ من $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

بسّط $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5.2.1.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.5.2.1.3

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

خطوة 5.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

بسّط $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4 π$ من $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

بسّط $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.4.1.1

أخرِج العامل $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.1.2

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.4.3.1

اضرب $3$ في $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

خطوة 5.8

حل المعادلة $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{3}{8}$ و $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

خطوة 7.1.2

اجمع $\frac{3 \cdot 4}{8}$ و $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

خطوة 7.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

خطوة 7.2.2

اختزِل العبارة $\frac{12 π}{8}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

خطوة 7.2.2.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

خطوة 7.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

خطوة 7.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

خطوة 7.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

خطوة 7.3.4

اضرب $64$ في $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

خطوة 8

$x = \frac{3}{8}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3}{8}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

خطوة 9.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

خطوة 9.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

خطوة 9.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

خطوة 9.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

خطوة 9.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 9.2.3

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 9.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

خطوة 9.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

خطوة 9.2.6

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{9}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{9}{8}$ و $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{9 \cdot 4}{8}$ و $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

خطوة 11.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $9$ في $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

خطوة 11.2.2

اختزِل العبارة $\frac{36 π}{8}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

خطوة 11.2.2.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

خطوة 11.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

خطوة 11.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

خطوة 11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

خطوة 11.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

خطوة 11.3.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

خطوة 11.3.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

خطوة 11.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

خطوة 11.3.6

اضرب $- 1$ في $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

خطوة 11.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

خطوة 11.5

اضرب $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

خطوة 11.5.2

اضرب $\frac{64 π^{2}}{9}$ في $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

خطوة 12

$x = \frac{9}{8}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{9}{8}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{9}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

خطوة 13.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

خطوة 13.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

خطوة 13.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

خطوة 13.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

خطوة 13.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

خطوة 13.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

خطوة 13.2.3

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

خطوة 13.2.4

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

خطوة 13.2.5

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.7

اضرب $4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

خطوة 13.2.7.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

خطوة 13.2.8

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{9}{8}, - 4)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 15