حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{2} - 1$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

خطوة 1.11

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ و $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2} - x$ في $2$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.5

اطرح $2$ من $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.7

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

خطوة 5.2.2.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.2.10

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 5.2.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.12.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

خطوة 5.2.2.12.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.2.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 5.2.2.15

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.16

أضف $0$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$

خطوة 7