حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x^{2} + 3$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x^{2} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $4 x$ و $0$ .

$4 x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

خطوة 5.2

انقُل $4$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$