حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

خطوة 1

اكتب $x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = 3 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.2.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.2.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $9 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\tan (t))$ .

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.2.4

اضرب $3$ في $27$ .

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 5.2.5

اضرب $3$ في $81$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.6

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

انقُل $\sec^{2} (t)$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

خطوة 5.2.6.2

اضرب $\sec^{2} (t)$ في $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

خطوة 5.2.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

خطوة 5.2.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 6

بما أن $243$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $243$ خارج التكامل.

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 7

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 9

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 9.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 10

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 11.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 11.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 16.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

خطوة 16.2

بسّط.

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$F (x) =$ $243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$