حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e}^{e^{e}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{e})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $e$ خارج الأُس.

$u_{upper} = e \ln (e)$

خطوة 1.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = e \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $e$ في $1$ .

$u_{upper} = e$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{e}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $e$ وفي $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{e}{| 1 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{e}{1})$

خطوة 5.3

اقسِم $e$ على $1$ .

$\ln (e)$

خطوة 6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$1$