حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x + 7}{\sqrt{9 x^{6} + 1}}$

خطوة 1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $9$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 4

انقُل الحد $7$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 - 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 6.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 6.3

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{6}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 8.1.2

اضرب $7$ في $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 8.1.3

أضف $1 + 0$ و $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 8.1.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

خطوة 8.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 8.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{3}$