حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

خطوة 4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 1 - x^{3}$ . إذن $d u = - 3 x^{2} d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 1 - x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

خطوة 5.1.4

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$- 3 x^{2}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

خطوة 6.3

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 8

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.1.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 10.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 10.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 10.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 10.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 10.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 12.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$