حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (4 x + 5 y^{2}) = 5 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 x + 5 y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x + 5 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x + 5 y^{2}$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

خطوة 2.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

خطوة 2.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

خطوة 2.2.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $5$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ على $\cos (4 x + 5 y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ على $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

خطوة 5.1.2.1.2

اقسِم $4 + 10 y y'$ على $1$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

افصِل الكسور.

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

خطوة 5.1.3.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$ إلى $\sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \sec (4 x + 5 y^{2})$

خطوة 5.1.3.3

اقسِم $5$ على $1$ .

$4 + 10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2})$

خطوة 5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ على $10 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ على $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 y$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 4}{10 y}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{10 y}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10 y$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{2 (5 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (5 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 2}{5 y}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$