حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$

خطوة 1

أكمل المربع لـ $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

خطوة 1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{2}$

خطوة 1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $\frac{1}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

خطوة 1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

خطوة 2

استبدِل $x^{2} + x$ بـ ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - 4 y = 60$

خطوة 3

انقُل $- \frac{1}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{1}{4}$ إلى كلا الطرفين.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 60 + \frac{1}{4}$

خطوة 4

أكمل المربع لـ $y^{2} - 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

خطوة 4.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 4.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 4.3.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 4)}^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.4

اضرب $4^{2}$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 4.4.2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 4.4.2.1.1.6.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 4.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 4.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 4.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

خطوة 5

استبدِل $y^{2} - 4 y$ بـ ${(y - 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 60 + \frac{1}{4}$

خطوة 6

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + 4$

خطوة 7

بسّط $60 + \frac{1}{4} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اكتب $60$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + 4$

خطوة 7.1.2

اضرب $\frac{60}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

خطوة 7.1.3

اضرب $\frac{60}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

خطوة 7.1.4

اكتب $4$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1}$

خطوة 7.1.5

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.1.6

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $60$ في $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.3.2

اضرب $4$ في $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 16}{4}$

خطوة 7.4

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أضف $240$ و $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{241 + 16}{4}$

خطوة 7.4.2

أضف $241$ و $16$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{257}{4}$

خطوة 8

هذه الصيغة هي صيغة الدائرة. استخدِم هذه الصيغة لتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

خطوة 9

طابِق القيم الموجودة في هذه الدائرة بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $r$ نصف قطر الدائرة، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$r = \frac{\sqrt{257}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 2$

خطوة 10

تم إيجاد مركز الدائرة عند $(h, k)$ .

المركز: $(- \frac{1}{2}, 2)$

خطوة 11

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل الدائرة بيانيًا وتحليلها.

المركز: $(- \frac{1}{2}, 2)$

نصف القطر: $\frac{\sqrt{257}}{2}$

خطوة 12