حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{10} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{5}{10}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} - (4 x^{3})$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{4}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.4

اجمع $\frac{4}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.2.5.2.4

اقسِم $2 x^{3}$ على $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 x^{2}$ من $2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 x^{2}$ من $2 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2 x^{2}$ من $- 12 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6) = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2 x^{2}$ من $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$2 x^{2} (x - 6) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x^{2} (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{10}$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $6$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $5$ .

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $7776$ .

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $3888$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - {(6)}^{4}$

خطوة 4.3.2.1.4

ارفع $6$ إلى القوة $4$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1 \cdot 1296$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1296$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296$

خطوة 4.3.2.2

لكتابة $- 1296$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع $- 1296$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (6) = \frac{3888 - 1296 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

اضرب $- 1296$ في $5$ .

$f (6) = \frac{3888 - 6480}{5}$

خطوة 4.3.2.5.2

اطرح $6480$ من $3888$ .

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

خطوة 4.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

خطوة 4.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{2592}{5}$ .

$- \frac{2592}{5}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $6$ في $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ هي $(6, - \frac{2592}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(6, - \frac{2592}{5})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 2 {(- 0.1)}^{3} - 12 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = 2 \cdot - 0.001 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 \cdot 0.01$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 12$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 0.12$

خطوة 6.2.2

اطرح $0.12$ من $- 0.002$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.122$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.122$ .

$- 0.122$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.122$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $27$ .

$f'' (3) = 54 - 12 {(3)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = 54 - 12 \cdot 9$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 12$ في $9$ .

$f'' (3) = 54 - 108$

خطوة 7.2.2

اطرح $108$ من $54$ .

$f'' (3) = - 54$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 54$ .

$- 54$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $3$ يساوي $- 54$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 6)$

تناقص خلال $(0, 6)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6.1$ في العبارة.

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $6.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $2$ في $226.981$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 {(6.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 \cdot 37.21$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 12$ في $37.21$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 446.52$

خطوة 8.2.2

اطرح $446.52$ من $453.962$ .

$f'' (6.1) = 7.442$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $7.442$ .

$7.442$

خطوة 8.3

في $6.1$ ، المشتق الثاني هو $7.442$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(6, - \frac{2592}{5})$ .

$(6, - \frac{2592}{5})$

خطوة 10