حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{2 x + 2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{2 x + 2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{2 x + 2} d x$

خطوة 4

اقسِم $x^{2}$ على $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + x$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

خطوة 4.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 4.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 4.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 4.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x - 1$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

خطوة 4.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 4.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 2} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 x + 2$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 9.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 10.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$