حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \csc (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.1.4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.5.1

اضرب $4$ في $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

خطوة 2.1.4.5.2

أعِد ترتيب عوامل $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 3

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 5

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$