حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' = x + y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

خطوة 2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

خطوة 3

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 3.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 4

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

خطوة 4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

خطوة 5

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

خطوة 6

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

خطوة 8.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

خطوة 8.3.2

اضرب $\int e^{- x} d x$ في $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

خطوة 8.4

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 8.4.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 8.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

خطوة 8.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

خطوة 8.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

خطوة 8.7

أعِد كتابة $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ بالصيغة $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

خطوة 8.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

خطوة 9

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.3.1.1.2

اقسِم $- x$ على $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 9.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$