حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x^{2}}$ في صورة ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.8.3

انقُل ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 4.10

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 4.11

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

خطوة 4.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

خطوة 4.13.2

اجمع $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.2

اضرب $1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.3

اضرب بسط الكسر وقاسمه في ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.3.1

اضرب $\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.3.2

اجمع.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.14.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.5.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 4.14.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.6

اضرب ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.7.1

اضرب ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ في ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.7.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.7.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

خطوة 4.14.7.1.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.14.7.1.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{1}}$

خطوة 4.14.7.2

بسّط ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 + x^{2}}$

خطوة 4.14.7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$