حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = \sin (θ)$ . إذن $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = \sin (θ)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 3

أخرِج عامل $\cos^{4} (u_{1})$ .

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = \sin (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

خطوة 7

وسّع ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 7.5

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

خطوة 7.6

انقُل ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.7

اضرب $1$ في $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.11

اضرب ${u_{2}}^{2}$ في $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

خطوة 7.13

أضف $2$ و $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

خطوة 7.14

اطرح ${u_{2}}^{2}$ من $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

خطوة 7.15

أعِد ترتيب $- 2 {u_{2}}^{2}$ و ${u_{2}}^{4}$ .

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.16

انقُل $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{4}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

خطوة 10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

خطوة 13.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$