حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

خطوة 6.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

خطوة 6.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

خطوة 6.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

خطوة 6.6

أضف $1$ و $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 8.1.2

اضرب $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ في $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 8.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

خطوة 8.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ و $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

خطوة 10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ في $e$ وفي $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

خطوة 10.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم $\ln (1)$ على $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

خطوة 10.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

خطوة 10.2.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

خطوة 10.2.2.4

لكتابة $- (- \ln (1) - 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

خطوة 10.2.2.5

اجمع $- (- \ln (1) - 1)$ و $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

خطوة 10.2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

خطوة 10.2.2.7

لكتابة $- e^{- 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

خطوة 10.2.2.8

اجمع $- e^{- 1}$ و $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

خطوة 10.2.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.10

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.12

اطرح $1$ من $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.13

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.14

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

خطوة 10.2.2.15

اجمع $- 2$ و $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

خطوة 10.2.2.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

خطوة 11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

خطوة 11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

خطوة 11.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

خطوة 11.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

خطوة 11.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

خطوة 11.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

خطوة 11.6

اضرب $e$ في $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

خطوة 11.7

اطرح $1$ من $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

الصيغة العشرية:

$- 0.52848223 \dots$