حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 5 y^{3} = x + 9$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x + 9)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x + 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $5$ .

$2 x + 15 y^{2} y'$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$15 y^{2} y' + 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 3.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$15 y^{2} y' + 2 x = 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$15 y^{2} y' = 1 - 2 x$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ على $15 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ على $15 y^{2}$ .

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$