حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt[3]{1 + 3 x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{1 + 3 x}$ في صورة ${(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 1 + 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 3 x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 7.3

انقُل ${(1 + 3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3 {(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

خطوة 14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{{(1 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 14.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{{(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$