حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 4 x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

خطوة 2

وسّع $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(3 x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$4 \int x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1)) d x$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)) d x$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)) d x$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.8

انقُل $x$ .

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.9

انقُل الأقواس.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x) x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.10

انقُل الأقواس.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3) x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.11

انقُل $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.12

انقُل $x$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1 x) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.13

انقُل الأقواس.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1) x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.14

انقُل $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.15

انقُل الأقواس.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 3) x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.16

انقُل $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

خطوة 2.17

انقُل $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.18

اضرب $3$ في $3$ .

$4 \int 9 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.19

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \int 9 (x^{2} x^{1}) x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \int 9 x^{2 + 1} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.21

أضف $2$ و $1$ .

$4 \int 9 x^{3} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.22

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \int 9 (x^{3} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.23

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \int 9 x^{3 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.24

أضف $3$ و $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.25

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.26

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.27

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.28

أضف $2$ و $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.29

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.30

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.31

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.32

أضف $2$ و $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

خطوة 2.33

اضرب $1$ في $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

خطوة 2.34

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

خطوة 2.35

أضف $3 x^{3}$ و $3 x^{3}$ .

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int 9 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$4 (9 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 9.1.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 9.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$4 (\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) + C$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$