حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 6

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 11

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 11.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 11.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

خطوة 13.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

خطوة 13.2.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$