حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \csc (x)$ . إذن $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \csc (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

خطوة 2.1.3

أعِد ترتيب عوامل $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 2.5

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

خطوة 3

أعِد كتابة $- 1 u$ بالصيغة $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $1$ وفي $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

خطوة 8.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

خطوة 8.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 8.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

خطوة 8.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

خطوة 8.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

خطوة 8.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

خطوة 8.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 8.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

خطوة 8.2.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 8.2.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 8.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 8.2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

خطوة 8.2.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 8.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (- \frac{1}{2})$

خطوة 8.2.10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

خطوة 8.2.11

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

خطوة 8.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 1.5$

صيغة العدد الذي به كسر:

$- 1 \frac{1}{2}$