حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

خطوة 1.2

اجمع $x$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

خطوة 1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ في $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 2.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

احسِب قيمة حد $\arcsin (x)$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.4.3

اطرح $π$ من $π$ .

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.2.4.4

اقسِم $0$ على $3$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $\sqrt{3}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

خطوة 3.1.3.3.2

اطرح $\sqrt{3}$ من $\sqrt{3}$ .

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.4

مشتق $\arcsin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.5

بما أن $- \frac{π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.6

أضف $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ و $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.8.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.8.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

خطوة 3.3.9

بما أن $- \sqrt{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- \sqrt{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

خطوة 3.3.10

أضف $2$ و $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 4.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

خطوة 4.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

خطوة 4.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

خطوة 4.7

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

خطوة 6.3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

خطوة 6.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

خطوة 6.3.6

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

خطوة 6.3.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

خطوة 6.3.8

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

خطوة 6.3.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

خطوة 6.3.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \cdot 2$

خطوة 6.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2$