حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ في صورة ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ بالصيغة ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

خطوة 4.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ و $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.6.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.7.2

اجمع ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 4.10

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

خطوة 4.12

اضرب $- 6$ في $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

خطوة 4.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ .

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.4

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.5

اضرب $- 2 x + 6$ في $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.6

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.6.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.8

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.10

أعِد كتابة $- (x - 3)$ بالصيغة $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 4.13.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$