حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $18$ خارج التكامل.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . إذن $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \tan^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أضف $0$ و $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب عوامل $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.1.2.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ بالصيغة $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$