حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ بنقل $\frac{1}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

خطوة 2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0$ .

$0$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

خطوة 7

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتزايد قيم الدالة بلا حدود.

$\infty$

خطوة 8

بما أن الحد أيسر الجانب لا يساوي الحد أيمن الجانب، إذن لا يوجد حد.

$لا يوجد$